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Fig. 1: Circuito da studiare.

Lo scopo di questo esercizio è quello di fare un breve riepilogo di diversi metodi per il calcolo della risposta di sistemi lineari mettendo in evidenza le relazioni esistemti fra i metodi stessi. Ci occuperemo del calcolo della risposta del circuito in Fig. 1 a una sollecitazione di tipo sinusoidale. Studieremo dapprima il circuito nel dominio del tempo, poi faremo uso dei metodi che si basano sulla trasformata di Laplace. Utilizzremo inoltre il calcolo fasoriale e, infine, faremo uso dei metodi di analisi propri della teoria dei segnali (trasformata di Fourier) per ricavare informazioni sul sistema. Come già detto, lo scopo è soprattutto quello di richiamare le relazioni che esistono fra i diversi metodi di analisi.

Supponiamo che il problema consista nel determinare la risposta $v_u(t)$ del sistema in Fig. 1 alla tensione di ingresso $v_i(t)$ definita come segue:

$$v_i(t)=\left\{\begin{matrix} 0 && t<t^*\\ V_I \cos(2\pi f t+\psi_I) && t\geq t^* \end{matrix}\right. \tag{1}$$

Scrivendo l'equazione di equilibrio per le correnti al nodo di uscita si ricava la seguente equazione differenziale che descrive il comportamento del circuito:

$$\frac{v_i-v_u}{R}= C \frac{d v_u}{dt}\tag{2}$$

Come è noto, l'equazione (2) può essere risolta (almeno in linea di principio) a partire da un qualunque istante finito di tempo $t_{start}$ purché sia noto il valore di $v_u(t_{start})$. Supponiamo di prendere in considerazione un istante di tempo $t_{start}<t^*$ e di sapere che $v_u(t_{start})=V_{US}$. Nell'intervallo di tempo fra $t_{start}$ e $t^*$ la tensione di ingresso $v_i(t)$ è identicamente nulla e la tensione di uscita (limitatamente all'intervallo preso in considerazione) può essere calcolata risolvendo l'equazione differenziale (che si ricava dall'Eq. 1 ponendo $v_i(t)=0$:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{d v_u}{dt}+\frac{v_u}{RC} =0\\ v_u(t_{start})=V_{US} \end{matrix}\right. \tag{3}$$

La soluzione dell'equazione (3), valida per $t_{start}<t<t^*$, è la seguente:

$$v_u(t)=V_{US} \quad e^{-\frac{t-t_{start}}{\tau}}\tag{4}$$

dove abbiamo indicato con $\tau$ la quantirà $RC$ che ha le dimensioni di un tempo. Si noti che per $t$ che aumenta, restando comunque inferiore a $t^*$, il modulo di $v_u(t)$ diminuisce. Si noti che la funzione esponenziale è tale che se la differenza $t-t_{start}$ vale anche solo pochi $\tau$, la tensione $v_u(t)$ diventa una frazione piccolissima della tensione iniziale: dopo $10\tau$ la tensione si riduce di un fattore $2.2\times 10^4$; dopo $20\tau$ il fattore di riduzione è $4.8\times 10^8$; dopo $30\tau$ il fattore di riduzione è $1.1\times 10^{13}$!. Questo significa, per esempio, che se anche la tensione iniziale $V_{SU}$ fosse pari a 10.000 V, dopo $30\tau$ la tensione di uscita si ridurrebbe a meno di 1 nV!

Con queste osservazioni torniamo al problema iniziale. Se immaginamo di aver completato la costruzione del circuito in Fig. 1 ad un tempo $t_{start}$ precedente di molti $\tau$ l'istante di tempo $t^*$, possiamo concludere che, qualunque fosse nel passato la tensione iniziale in uscita al sistema, in prossimità di $t^*$ (ma prima di $t^*$) questa può essere considerata praticamente nulla. In altre parole, il comportamento del sistema in Fig. 1 per $t>t^*$ è lo stesso, indipendentemente da come arriviamo a al tempo $t^*$, purché la tensione di ingresso sia stata in precedenza mantenuta a zero per un tempo grande rispetto a $\tau$¹⁾.

in tginiamo di ;e tende, per $t$ sufficentemente grandi rispetto a $\tau$ a diventare il comportamento del sistema è descritto dall'equazione differenziale Se prendiamo in considerazione