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--- esercizio_a [2024/09/21 19:48] – admin
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 Tornando al nostro obiettivo, noi dobbiamo calcolare la risposta, in condizioni iniziali nulle, alla tensione di ingresso data dalla 1.1 (con $t^*$=0). La trasformata di Laplace della funzione coseno non è particolarmente semplice. Tuttavia il coseno di può oensare come ottenuto dalla somma di due esponenziali come in 1.9 e la tarsformata di Laplace di una funzione esponenziale è particolarmente semplice. Si ha infatti:
-$$V_i^+(s)=\mathscr{L}\left(v_i^+(t)\right)=\mathscr{L}\left(V_Ie^{+j(2*\pi ft)}\right)=\int_{0}^{+\infty}V_Ie^{+j(2*\pi ft)} e^{-st}dt =V_I\int_{0}^{+\infty} e^{-(s-j2\pi f)t} = \frac{V_I}{s-j2\pi f}\tag{2.17}$$
+$$V_i^+(s)=\mathscr{L}\left(v_i^+(t)\right)=\mathscr{L}\left(V_Ie^{+j(2*\pi ft+\psi_I)}\right)=\int_{0}^{+\infty}V_Ie^{j\psi_I}e^{+j(2*\pi ft)} e^{-st}dt =V_Ie^{j\psi_I}\int_{0}^{+\infty} e^{-(s-j2\pi f)t} = \frac{V_Ie^{j\psi_I}}{s-j2\pi f}\tag{2.17}$$
 e, analogamente:
-$$V_i^-(s)=\mathscr{L}\left(v_i^-(t)\right)=\mathscr{L}\left(V_Ie^{-j(2*\pi ft)}\right)=\int_{0}^{+\infty}V_Ie^{-j(2*\pi ft)} e^{-st}dt =V_I\int_{0}^{+\infty} e^{-(s+j2\pi f)t} = \frac{V_I}{s+j2\pi f}\tag{2.18}$$
+$$V_i^-(s)=\mathscr{L}\left(v_i^-(t)\right)=\mathscr{L}\left(V_Ie^{-j(2*\pi ft-\psi_I)}\right)=\int_{0}^{+\infty}V_Ie^{-j\psi_I}e^{-j(2*\pi ft)} e^{-st}dt =V_Ie^{-j\psi_I}\int_{0}^{+\infty} e^{-(s+j2\pi f)t} = \frac{V_Ie^{-j\psi_I}}{s+j2\pi f}\tag{2.18}$$
 Arrivati a questo punto si ha:
-$$V_u(s)=H(s)V_i(s)=\frac{1}{2}H(s)\left[ V_i^+(s)+V_i^-(s)\right]= \frac{V_I}{2}\frac{1}{1+s\tau}\frac{1}{s-j2\pi f}+\frac{V_I}{2}\frac{1}{1+s\tau}\frac{1}{s+j2\pi f}\tag{2.19}$$
+$$V_u(s)=H(s)V_i(s)=\frac{1}{2}H(s)\left[ V_i^+(s)+V_i^-(s)\right]= \frac{1}{2}\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_Ie^{j\psi_I}}{s-j2\pi f}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_Ie^{-j\psi_I}}{s+j2\pi f}\tag{2.19}$$
 A questo punto potremmo antitrasformare i due termini finali che si sommano (operazione semplificata dal fatto che hanno la stessa forma). Tuttavia possiamo semplificare ulteriormente le cose se osserviamo che un altro modo di leggere l'Eq. 1.8 è che il coseno di un angolo $\alpha$ è la parte reale dell'esponenziale  che ha come argomento $j\alpha$, ovvero:
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 Per calcolare $v_u^+(t)$ dobbiamo ricavare l'antitrasformata di laplace della funzione $V_u^+(s)$ con:
-$$V_u^+(s)=H(s)V_i^+(s)=\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_I}{s-j2\pi f}\tag{2.22}$$
+$$V_u^+(s)=H(s)V_i^+(s)=\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_Ie^{j\psi_I}}{s-j2\pi f}\tag{2.22}$$
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 Nel caso della funzione 2.22 si può scrivere:
-$$\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_I}{s-j2\pi f}=A\frac{1}{1+s\tau}+B\frac{V_I}{s-j2\pi f}\tag{2.23}$$
+$$\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_Ie^{j\psi_I}}{s-j2\pi f}=\frac{A}{1+s\tau}+\frac{B}{s-j2\pi f}\tag{2.23}$$
-$$\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_I}{s-j2\pi f}=\frac{As-Aj2\pi f+B V_I+B V_I\tau s}{(1+s\tau)(s-j2\pi f)}
+$$\frac{1}{1+s\tau}\frac{V_Ie^{j\psi_I}}{s-j2\pi f}=\frac{As-Aj2\pi f+B +B \tau s}{(1+s\tau)(s-j2\pi f)}
 \tag{2.24}$$
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 $$\left\{ \begin{matrix}
-          (A+B V_I\tau)s=0 &&\forall s\\
+          (A+B\tau)s=0 &&\forall s\\
-           B V_I- Aj2\pi f =1
+           B- Aj2\pi f =V_Ie^{j\psi_I}
 \end{matrix}\right. \tag{2.25}$$
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 $$\left\{\begin{matrix}
-A+B V_I\tau=0 \\
+A+B\tau=0 \\
-B V_I- Aj2\pi f =1
+B- Aj2\pi f =V_Ie^{j\psi_I}
-\end{matrix}\right. \rightarrow  A= -\frac{\tau}{1+j2\pi f \tau }\;\;\; ; \;\;\; B= \frac{1}{1+j2\pi f \tau }\tag{2.26}$$
+\end{matrix}\right. \rightarrow  A= -\frac{\tau}{1+j2\pi f \tau }V_Ie^{j\psi_I}\;\;\; ; \;\;\; B= \frac{1}{1+j2\pi f \tau }V_Ie^{j\psi_I}\tag{2.26}$$
 L'antitrasformata del secondo membro della Eq. 2.23 in termini delle costannti $A$ e $B$ si determina facilmente e si ha:
-$$v_u^+(t)=\frac{A}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+BV_Ie^{j 2 \pi f t}\tag{2.27}$$
+$$v_u^+(t)=\frac{A}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+Be^{j 2 \pi f t}\tag{2.27}$$
-e usando i risultati nella 2.6 si ha:
+Si noti che otteniamo un termine transitorio che si estingtue nel tempo (il termine con argomento dell'esponenziale reale e negativo al crescere del tempo) e un termine che non si estingue, che corrsiponde alla risposta in regime sinusoidale.
-$$v_u^+(t)=\frac{A}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}+BV_Ie^{j 2 \pi f t}\tag{2.27}$$
+Usando i risultati nella 2.6 si può facilmente calcolare l'espressione finale della tensione $v_u^+(t)$. Invece di procedere in questo modo, però, discutiamo di un secondo metodo per ricavare il coefficiente B nell'Eq 2.27.
+Se prendiamo in considerazione il secondo membro della Eq. 2.23, risulta evidente che i coefficienti $A$ and $B$ soddisfano le segenti relazioni:
+$$
+          A=\lim_{s \to -\frac{1}{\tau}}  \left[\frac{A}{1+s\tau}+\frac{B}{s-j2\pi f}\right](1+s\tau)
+ \tag{2.28}$$
+$$
+          B=\lim_{s \to j2\pi f}  \left[\frac{A}{1+s\tau}+\frac{B}{s-j2\pi f}\right](s-j2\pi f)
+ \tag{2.29}$$
 (continua.....)