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--- esercizio_a [2017/02/09 11:42] – [1. Analisi nel dominio del tempo] admin
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 $$\frac{v_i-v_u}{R}= C \frac{d v_u}{dt}\tag{1.2}$$
-Come è noto, l'equazione (1.2) può essere risolta (almeno in linea di principio)  a partire da un qualunque istante finito di tempo $t_{start}$ purché sia noto il valore di $v_u(t_{start})$. Supponiamo di prendere in considerazione un istante di tempo $t_{start}<t^*$ e di sapere che $v_u(t_{start})=V_{US}$. Nell'intervallo di tempo fra $t_{start}$ e $t^*$ la tensione di ingresso $v_i(t)$ è identicamente nulla e la tensione di uscita (limitatamente all'intervallo preso in considerazione) può essere calcolata risolvendo l'equazione differenziale (che si ricava dall'Eq. 1 ponendo $v_i(t)=0$):
+Come è noto, l'equazione 1.2 può essere risolta (almeno in linea di principio)  a partire da un qualunque istante finito di tempo $t_{start}$ purché sia noto il valore di $v_u(t_{start})$. Supponiamo di prendere in considerazione un istante di tempo $t_{start}<t^*$ e di sapere che $v_u(t_{start})=V_{US}$. Nell'intervallo di tempo fra $t_{start}$ e $t^*$ la tensione di ingresso $v_i(t)$ è identicamente nulla e la tensione di uscita (limitatamente all'intervallo preso in considerazione) può essere calcolata risolvendo l'equazione differenziale (che si ricava dall'Eq. 1.1 ponendo $v_i(t)=0$):
 $$\left\{\begin{matrix}
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 $$v_{u_f}=\frac{1}{2}\left(v^+_{uf}+v^-_{uf}\right)\tag{1.10}$$
-Procediamo quindi con il calcolo di $v^+_{uf}$. Vista la forma della $v^+_i(t)$, in analogia con quanto illustrato più sopra (vedi Eq. 8), cerchiamo una soluzione nella forma:
+Procediamo quindi con il calcolo di $v^+_{uf}$. Vista la forma della $v^+_i(t)$, in analogia con quanto illustrato più sopra (vedi Eq. 1.8), cerchiamo una soluzione nella forma:
 $$v^+_{uf}(t)= B^+e^{+j(2\pi f t +\theta^+_u)}\tag{1.11}$$
-con $B^+$ reale e positivo. Sostituendo $v^+_{i}(t)$ e $v^+_{uf}(t)$ nell'equazione differenziale (Eq. 5, disinteressandoci delle condizioni iniziali), si ottiene:
+con $B^+$ reale e positivo. Sostituendo $v^+_{i}(t)$ e $v^+_{uf}(t)$ nell'equazione differenziale (Eq. 1.5, disinteressandoci delle condizioni iniziali), si ottiene:
 $$j2\pi f B^+ e^{+j(2\pi f t +\theta^+_u)}+\frac{1}{\tau}B^+e^{+j(2\pi f t +\theta^+_u)}=\frac{1}{\tau}V_I e^{+j(2\pi ft +\psi_I)}\tag{1.12}$$
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 $$j2\pi f B^+ e^{j \theta^+_u}e^{j2\pi f t }+\frac{1}{\tau}B^+e^{j \theta^+_u}e^{j2\pi f t }=\frac{1}{\tau}V_I e^{j\psi_I}e^{+j2\pi ft }\tag{1.13}$$
-La riscrittura dell'Eq. 12 nella forma in Eq. 13 mette in evidenza il fatto che in tutti i termini dell'equazione compare il fattore $e^{j 2 \pi f t}$ che può quindi essere semplificato. Si ottiene quindi la relazione seguente:
+La riscrittura dell'Eq. 1.12 nella forma in Eq. 1.13 mette in evidenza il fatto che in tutti i termini dell'equazione compare il fattore $e^{j 2 \pi f t}$ che può quindi essere semplificato. Si ottiene quindi la relazione seguente:
 $$(j2\pi f) B^+ e^{j \theta^+_u}+\frac{1}{\tau}B^+e^{j \theta^+_u}=\frac{1}{\tau}V_I e^{j\psi_I}\tag{1.14}$$
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 ====Analisi nel dominio di Laplace ====
+Ricordiamo che la trasformata di laplace $F(s)=\mathscr{L}\left(f(t)\right)$ di una funzione del tempo $f(t)$ è definita dal seguente integrale (purché esistano valori della variabile complessa $s$ per i quali l'integrale stesso converge):
+$$
+F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t) e^{-st}dt\tag{2.1}
+$$
+Si noti che, con la definizione appena data, la funzione trasformata $F(s)$ dipende solo dai valori assunti da $f(t)$ per $t\geq 0$((Se $f(t)$ è una funzione propriamente detta, è irrilevante che l'intervallo di integrazione sia chiuso o aperto a sinistra. Quando si voglia estendere la definizione di trasformata di Laplace al caso di funzioni "strane" come le come le funzioni impulsive (che funzioni propriamente dette non sono), occorre specificare se l'intervallo di integrazione è $(0,+\infty)$ (che potremmo leggere come da $0^+$ a infinito) oppure $[0,+\infty)$ (che deve essere interpretato come da $0^-$ a infinito). Si possono adottare entramne le definizioni purché poi, nell'utilizzo delle funzioni trasformate per la soluzione di problemi, si adottino le opportune modifiche. Nel seguito, tutte le volte che dovesse essere rilevante la scelta del dominio di integrazione, adotteremo la definizione che fa rifermento all'intervallo chiuso a sinistra.)).
+Ai fini della soluzione di equazioni diffrenziali (o di sistemi di equazioni differenziali) risultano particolarmente utili le proprietà della trasformata di Laplace quando l'argomento della trasformazione è la derivata o l'integrale di una funzione f(t).
+Supponiamo che sia
+$$g(t)=f'(t)=\frac{d f(t)}{dt}\tag{2.2}$$
+dalla (2.1) otteniamo:
+$$\mathscr{L}\left(f'(t)\right)=G(s)=\int_{0}^{+\infty}g(t) e^{-st}dt=\int_{0}^{+\infty}\frac{d f(t)}{dt} e^{-st}dt\tag{2.3}$$
+Sfruttando la seguente indentità (regola di integrazione per parti):
+$$f(b)e^{-sb}-f(a)e^{-sa}=\int_{a}^{b}\frac{d \left(f(t)e^{-st}\right)}{dt} dt=
+\int_{a}^{b}\frac{d f(t)}{dt} e^{-st}dt-s\int_{a}^{b}f(t)e^{-st}dt\tag{2.3}$$
+e nell'ipotesi che esista un insieme di valori di $s$ per i quali:
+$$\lim_{t\to\infty}f(t)e^{-st}=0\tag{2.4}$$
+dalla (2.2) si ottiene:
+$$G(s)=sF(s)-f(0)\tag{2.5}$$
+In conclusione si può esprimere la trasformata di Laplace della derivata di una funzione come differenza fra la trasformata della funzione moltiplicata per $s$ e il valore della funzione nell'istante iniziale ($t=0$).
+Supponiamo ora di voler ottenere la trasformata di Laplce di una funzione $f(t)$ ottenuta come integrale di una funzione $g(t)$ nel modo seguente:
+$$f(t)=f(0)+\int_{0}^{t} g(\alpha)d\alpha \tag{2.6}$$
+Poiché, come è ovvio dalla definizione, l'operazione di trasformazione secondo Laplace gode della proprietà di linearità, si ha che:
+$$\mathscr{L}\left(f(t)\right)=\mathscr{L}\left(f(0)\right)+\mathscr{L}\left(\int_{0}^{t} g(\alpha)d\alpha \right)\tag{2.7}$$
+Si ottiene:
+$$\mathscr{L}\left(f(0)\right)=\int_{0}^{+\infty}f(0) e^{-st}dt=-f(0)\left[ \frac{e^{-st}}{s} \right]  _0^{+\infty}=\frac{f(0)}{s}\tag{2.8} $$
+$$
+\mathscr{L}\left(\int_{0}^{t} g(\alpha)d\alpha \right)=\frac{1}{s}\int_{0}^{+\infty}g(t) e^{-st}dt=\frac{G(s)}{s}\tag{2.9}$$
+L'ultimo risultato è stato ottenuto sfruttando la regola di integrazioni per parti e assumendo che $g(t)$ sia una funzione propria (per cui il suo integrale su un intervallo di ampiezza nulla è 0) e che esistano valori di $s$ per i quali:
+$$\lim_{t\to\infty}\int_{0}^{t}g(\alpha)d\alpha \quad e^{-st}=0\tag{2.10}$$
+Si ottiene quindi, in definitiva,:
+$$\mathscr{L}\left(f(t)\right)=F(s)=\frac{G(s)}{s}+\frac{f(0)}{s}\tag{2.11}$$
+che, come è immediato osservare e come è ovvio che debba essere, non è altro che un diverso modo di scrivere la (2.5).